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Convolution et déconvolution


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12 réponses à ce sujet

#1 jmaffert

jmaffert

    Batracien

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Posté 02 juin 2016 - 03:20

Bonjour, le sujet expliqué par Tryphon en 2009 et qui a resurgi très récemment à propos d'une regrettable confusion de termes soulève plein de questions intéressantes.

 

Débutons par la base : qu'est-ce-qu'une convolution ?

 

Définition du Trésor de la langue française : "Opération par laquelle deux fonctions sont mises dans un rapport suggérant une sorte d'enroulement de l'une sur l'autre." Assez poétique, mais pas si clair et un peu approximatif.

 

Définition du Larousse moderne :

"Produit de convolution de f et g, fonction notée f ⋆g, définie par, f et g étant toutes deux intégrables". C'est très clair pour un mathématicien, pas forcément pour tout le monde...Il s'agit en plus ici d'une intégrale simple alors qu'on travaille en bidimensionnel en optique, mais je n'irai pas plus loin.
 
Pas de définition dans le grand Larousse du 19ème siècle.
 
En pratique, la convolution est une sorte de filtrage d'une fonction par une autre fonction.
 
L'exemple donné par Tryphon en 2009 est tout à fait exact, mais il s'agit d'un cas particulier de produit de matrices de nombres réels pour lequel, sauf cas particulier, il existe une convolution inverse, ou déconvolution. Il s'agit de ce qu'on appelle plus couramment un filtrage.
 
Une caractéristique essentielle de la convolution est que la transformée de Fourier (TF) du produit de convolution f *g est égale au produit  des transformées de Fourier de f et de g. Or vous savez qu'en optique on passe son temps à faire des transformées de Fourier, tout naturellement et souvent sans s'en rendre compte. La surface d'onde générée par l'objet que l'on observe au niveau de la pupille d'entrée est la transformée de Fourier de l'objet. L'objectif refait une transformée de Fourier au niveau du foyer où l'on observe l'image.
 
Mais la pupille d'entrée est finie : il y a donc multiplication de la surface d'onde (à peu près sphérique) par 0 en dehors de la pupille (les rayons lumineux ne passent pas) et par 1 dans la pupille, généralement circulaire. On a donc le produit de deux fonctions. Au foyer de l'objectif, on a la transformée de Fourier du produit de ces fonctions, qui est la convolution de l'image de l'objet (qui nous intéresse) par la fonction de Bessel d'ordre 1 (TF d'une ouverture circulaire). Ouf !
 
Mais c'est ici que surgit le problème : la surface d'onde est représentée par une amplitude et une phase en chacun de ses points (ou un nombre complexe, ce qui revient au même). La surface d'onde qui arrive au niveau du détecteur (l'image) a toujours en chaque point une amplitude et une phase et si on pouvait l'enregistrer, on pourrait déconvoluer. Mais ce n'est pas le cas : les détecteurs sont sensibles à l'intensité (carré du champ électrique) et insensibles à la phase. On perd donc une information essentielle. La déconvolution peut être tentée, apportera une amélioration, mais limitée.
 
On peut trouver plein d'articles sur ce sujet, chacun y allant de sa formule miracle, mais les gains ne sont pas spectaculaires.
 
Il y a une grande différence entre les traitements en astronomie où l'on cherche essentiellement à détecter une étoile faible à côté d'une étoile brillante et la microscopie ou - en général - l'on cherche à observer une image pas très contrastée avec la meilleure définition possible.
 
Cordialement
 

 

 

 


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#2 Tryphon T

Tryphon T

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Posté 02 juin 2016 - 05:04

Bonjour,

 

Un peu ardu tout çà !

 

Une caractéristique essentielle de la convolution est que la transformée de Fourier (TF) du produit de convolution f *g est égale au produit  des transformées de Fourier de f et de g.

 

Et si on commençait à parler de la Transformation de Fourrier ?

 

 

J'ai donc cherché une vidéo de Maurice Françon .

 

(Remarquez au passage les dérouleurs de bandes et les cartes perforées ! )

 

 

Amicalement.

 

 


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#3 jmaffert

jmaffert

    Batracien

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Posté 02 juin 2016 - 06:14

Très bon exposé de Françon, naturellement. La partie qui concerne le microscope va de la 13è minute à la 17è : transformée de Fourier des fréquences spatiales.

 

Amicalement


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#4 Tryphon T

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Posté 03 juin 2016 - 10:46

Bonjour,

 

Je m'informe. J'essaye de transformer en mots simples des notions que d'autres se donnent un malin plaisir à compliquer en utilisant un jargon et beaucoup de formules.

Et je trouve ceci :
 

Transformée de Fourier

oreille.jpg  Le son est de nature ondulatoire. Il correspond à une vibration qui se propage dans le temps. Pourtant, quand on écoute un instrument de musique, on n'entend pas une vibration (fonction du temps), mais une note, c'est-à-dire une fréquence. Notre oreille a donc pesé le poids relatif de chaque fréquence dans le signal temporel : elle a calculé la transformée de Fourier du signal original.


 

danger.gifTous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier, la normalisation peut changer. 

Bon, si j'ai bien compris, la vibration de l'instrument se transmet à l'air qui fait vibrer notre tympan qui transmet ses vibrations aux osselets,jusqu'aux cellules ciliées de l' organe de Corti. Ces cellules feraient donc une "transformation de Fourrier" avant de livrer les informations aux zones compétentes du cerveau. Si j'ai bien compris aussi, on entend bien physiquement des vibrations contrairement à ce qui est dit plus haut, mais le cerveau , comme pour les couleurs, nous donne la sensation de sons (notes). Si j'ai bien compris aussi, n'importe quel microphone (transducteur ) qui transforme des vibrations de l'air (sous forme de variations de pression) en signal électrique (électricité) fait une transformation de Fourrier, et je me dis, soit ils sont bien "calés" en Math, soit c'est beaucoup plus simple à expliquer que de passer par des formules alambiquées. Amicalement.
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#5 jmaffert

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    Batracien

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Posté 03 juin 2016 - 06:12

Il correspond à une vibration qui se propage dans le temps. Pourtant, quand on écoute un instrument de musique, on n'entend pas une vibration (fonction du temps), mais une note, c'est-à-dire une fréquence. Notre oreille a donc pesé le poids relatif de chaque fréquence dans le signal temporel : elle a calculé la transformée de Fourier du signal original.


Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier, la normalisation peut changer.
 

Tout ça est très approximatif pour ne pas dire faux, en tout cas certainement pas rigoureux.

Un microphone ne fait en aucun cas une transformée de Fourier, il se contente de transformer les vibrations sonores et signaux électriques (voir ce qu'il y a sur l'oscilloscope de Françon). Pour faire une transformée de Fourier, plusieurs cas :
- le signal est une fonction mathématique simple et on peut faire le calcul mathématiquement; je vous fais grâce de la formule...qui n'est pas simple.
- le signal est complexe, il faut alors l'échantillonner (au sens de Nyquist/Shannon, tiens, tiens...) et faire le calcul numérique avec un ordinateur

- une lentille réalise automatiquement une transformée de Fourier spatiale, pas temporelle

Ce que font l'oreille et le cerveau dépasse mes compétences. Il est clair qu'on entend les harmoniques comme le fondamental et qu'on est sensible à la forme du signal. Au delà...

La transformée de Fourier n'est pas simple à expliquer. Françon a essayé de l'illustrer d'une façon correcte. Je n'ai utilisé aucune formule alambiquée. J'ai juste donné la définition correcte d'une convolution, extraite directement d'un dictionnaire. Au contraire, j'essaie d'éviter les mathématiques dans mes explications.

Amicalement


Modifié par jmaffert, 03 juin 2016 - 06:16 .

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#6 Tryphon T

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Posté 03 juin 2016 - 06:32

Qui croire ?

 

Je mets l'adresse du site consulté.

 

http://www.bibmath.n...riertransf.html

 

Il me semblait sérieux. Bon, mais qui suis-je pour juger ce qui me dépasse ?

En tout cas j'essaye de comprendre .
Au sujet des formules, je ne parlais pas de toi, mais comme moins de 0.1% des habitants de cette planète comprennent quelque chose aux formules "complexes" , cela laisse la place à de nombreux Bogdanoffs.

 

 

Amicalement.


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#7 jmaffert

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    Batracien

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Posté 03 juin 2016 - 06:43

Sur la partie mathématique, le site a l'air correct; sur l'interprétation physiologique, c'est un sujet plus difficile et sujet à diverses interprétations.

 

Effectivement quelqu'un qui a "l'oreille absolue" est capable de reconnaître le fondamental d'une note. De là à dire qu'on est capable de reconnaître les harmoniques et leur intensité dans un son, c'est une autre paire de manches...

 

Amicalement


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#8 jmp76

jmp76

    Nucléotide

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Posté 04 juin 2016 - 03:40

Bonjour à tous,

Au sujet des formules, je ne parlais pas de toi, mais comme moins de 0.1% des habitants de cette planète comprennent quelque chose aux formules "complexes"

 

Pour ceux qui ont du mal à se placer dans l'espace mathématique 'complexe', je vous propose une autre approche mécanique: voir http://www.engineerg...ic-analyzer.pdf

Ce n'est que de la mécanique simple... et pourtant...! C'est très beau de comprendre comment on manipule les coefficients, comment on fait l'addition, ...

 

Le lien cité des maths de Fourier en imaginaire (complexe) ne traite que Fourier en une dimension, en optique on doit le faire au moins en 2D, et en système cylindrique  (d'où les fonctions de Bessel)

 

Il est plus facile de comprendre Fourier en développant en séries de sinus et de cosinus. (ce qui revient au même, mais c'est plus 'palpable/imaginable')

 

Concernant la déconvolution, on peut aller voir http://pichotjm.free...conv/Deconv.php

comment éliminer un bougé complexe.  (on peut aussi se plonger dans l'architecture d'un ordinateur de plus de 50 ans)

 

Cordialement


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#9 jmp76

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    Nucléotide

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Posté 04 juin 2016 - 03:53

et http://boingboing.ne...of-a-mecha.html


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#10 jmaffert

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    Batracien

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Posté 06 juin 2016 - 08:57

Effectivement un bon traitement d'images peut l'améliorer, mais de là à restituer une image nette !

 

Même si l'on avait une centrale à inertie ayant enregistré précisément les mouvements de la caméra pendant le temps d'exposition, on n'arriverait pas à reconstituer parfaitement l'image à cause de la perte d'information de phase.

 

Cordialement


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#11 Tryphon T

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Posté 06 juin 2016 - 10:21

En ce qui concerne le cerf, je connaissais et donc je ne suis pas surpris.

Mon opinion n'a pas changé : beaucoup de bruit pour rien, l'image du début et l'image de fin sont tout à fait similaires, elles n'apportent pas grand chose de plus, l'une que l'autre, un cerf flou est un cerf flou, aucune nouvelle information n'est apparue dans l'image.



La " machine" est tout à fait impressionnante, mais le texte en anglais m'est totalement indéchiffrable à moins d'y passer une semaine... et la vie est courte, surtout vers la fin.



La vidéo elle, par contre, rend bien compte de ce qu'elle peut produire.

Je pense qu'on peut faire exactement la même chose en programmation avec un certain nombre de boucles imbriquées.

 

Corrigez-moi si je me trompe, j'ai cru comprendre que la transformation de Fourrier faisait exactement l'inverse de la machine, qu'elle décomposait une courbe complexe en sous courbes simples.


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#12 jmp76

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    Nucléotide

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Posté 06 juin 2016 - 04:30

Bonjour,

En ce qui concerne le cerf

As-tu lu la 2ème partie?  http://pichotjm.free...onv/Deconv2.php

Le résultat (au centre de la page) est quand même nettement amélioré. (pour une image prise au hasard, et non truquée)   (contrairement à un éditeur de logiciel qui a fini par avouer que les images avaient été préparées/truquées)

 

Fourier:

Transformée et TF inverse c'est la même chose. (c'est d'ailleurs pour cela qu'on introduit une normalisation pour avoir la même équation)

 

Cordialement


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#13 Tryphon T

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Posté 06 juin 2016 - 04:55

Je me place sur un autre plan .

Que ce soit la photo originelle bougée ou le résultat final, je ne vois aucune différence sur le plan de l'information.

Dans les deux cas on sait que c'est un cerf flou.

Pour que le procédé ait un intérêt quelconque à part celui de faire joujou avec des menus déroulants ou des commandes en ligne, il faudrait que l'image traité nous donne au moins une information que l'on ne pouvait pas connaitre sur la première.

Comme le reconnait l'auteur lui même, il vaut mieux s'appliquer à la prise de vue.

C'est la même chose en microscopie, il vaut mieux soigner sa préparation que de passer des heures à retoucher les images. Garbage in  ... dirait Jean-Marie.

 

Pour la machine, je ne la vois fonctionner que dans un sens, c'est à dire générer des courbes complexes résultant de différents réglages grâce auxquels la courbe finale est la résultante de courbes plus simples. Je ne vois pas comment elle pourrait partir du plus complexe pour arriver au plus simple.

C'est de la pure mécanique, pas de l'analyse.

Il faudrait manipuler le stylet et placer d'autres stylets à la place des réglages initiaux, je ne sais pas , vues les démultiplications comment on pourrait y arriver.

C'est comme vouloir faire tourner un moteur à la main en faisant tourner la sortie d'un réducteur à 30 étages, il faudrait une sacré force...

Mais je peux me tromper.


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